# 半群与单子

# 半群的基本概念

# 定义 1. 半群 (semigrop)

设 $(X, \ast )$ 是代数系统， $\ast$ 是 X 上的二元运算。若 $\ast$ 运算满足
结合律，则称 $(X, \ast )$ 为半群。

半群就是具有结合律的代数系统；

验证半群的要点是验证运算的
(1) 封闭性；(2) 结合律

# 定义 2. 单子 (monoid)

设 $(X, \ast )$ 是半群

若 $\ast$ 运算满足交换律，则称 $(X ， \ast )$ 是交换半群。
若 X 关于 $\ast$ 运算有幺元，则称 $(X ， \ast )$ 是含幺半群或者单子。
若 $\ast$ 运算满足交换律同时 X 关于 $\ast$ 运算又有幺元，则称 $(X ， \ast )$ 是交换
含幺半群或交换单子

# 定义 3. 元素的乘幂

设 $(X, \ast )$ 是代数系统， $\ast$ 是 X 上的二元运算。X 中元素的乘幂定义如下：
$\forall x \in X\\ x^1=x \\ x^{m+1}=x^m \ast x(m \in N)$

# 定理 1. 指数律

设 $(X, \ast )$ 是半群。任取 $x \in X,\forall m,n \in N$ 有
$x^m \ast x^n=x^{m+n}=x^n \ast x^m \\ (x^m)^n=x^{mn}=(x^n)^m$

# 定义 4. 循环半群 (cyclic semigroup)

设 $(X, \ast )$ 是半群。若存在着元素 $x_0 \in X$ , 使得
$(\forall x \in X)(\exists n \in N)(x=x_0^n)$
则称 $(X, \ast )$ 为循环半群；同时称 $x_0$ 是该循环半群的生成元 (generating element)。

# 定理 2. 循环半群一定是交换半群。

# 定义 5. 子半群 (sub-semigroup)

设 $(X, \ast )$ 是半群， $S\subseteq X$ 且 $S\ne \varnothing$ 。若 $(S， \ast )$ 是 $(X， \ast )$ 的子代数系统，并且 $(S， \ast )$ 也构成半群，则称 $(S， \ast )$ 是 $(X， \ast )$ 的子半群。

子半群的概念是子代数系统概念在半群这种代数系统中的具体体现。

由本章 §1 的定理 3 知，若代数系统中的二元运算满足结合律，则子代数系统中的二元运算也满足结合律，因此半群的子代数系统就是这个半群的子半群。

因此，验证子半群与验证子代数系统一样，必须验证条件：
1. $S\subseteq X$
2. $S\ne \varnothing$
3. 封闭性

# 群

# 群的基本概念

# 定义 1. 群 (group)

设 $〈G, \ast 〉$ 是含幺半群。若 G 中每个元素都有逆元，即
$\forall g(g \in G \implies g^{-1} \in G)$ , 则称 $〈G, \ast 〉$ 为群

群就是每个元素都有逆元的含幺半群；

验证一个代数系统是群，必须验证以下四点：
(1) 封闭性；(2) 结合律；(3) 有幺元；(4) 有逆元。

# 定义 2. 交换群 (Abel 群加群)。

设 $〈G, \ast 〉$ 是群。若 $\ast$ 运算满足交换律，则称 $〈G, \ast 〉$ 是交换群。

# 定义 3. 群的阶 (rank)

设 $〈G, \ast 〉$ 是群。称 G 的势 (基数) 为群 $〈G, \ast 〉$ 的阶

群的阶反映群的大小；

由定义 3 知有限群的阶就是 G 中元素的个数；无限群的阶是 G 的势；群
的阶统一记为 | G|

# 定理 1 逆元唯一无零元

设 $〈G, \ast 〉$ 是群， $|G|\geqslant 2$ 。则

G 中每个元素的逆元是唯一的；
G 中无零元。

# 定理 2 反身律鞋袜律

设 $〈G, \ast 〉$ 是群，则 $\forall a,b \in G$ , 有

反身律： $(a^{-1})^{-1}=a$
鞋袜律：(a \ast b)^{-1}=b^{-1} \ast a^

# 定理 3 消去律

设 $〈G, \ast 〉$ 是群，则满足消去律
$\forall x,y,z \in G$
$x \ast y=x \ast z\implies y=z$

# 定理 4

在有限群 $〈G, \ast 〉(|G|=n)$ 的 $\ast$ 运算的运算表中，每一
行 (每一列) 都与 G 中元素的自然顺序构成一个置换 (双射)。即
每个元素在每行 (列) 必出现一次且只出现一次。

因此 n 阶有限群的运算表是由 G 中元素的 (n 个行或 n 个列所形成的) n 个置换所构成的。这个性质来源于群中每个元素都有逆元

# 定义 4. 元素的乘幂

设 $〈G, \ast 〉$ 是群。G 中元素乘幂的定义在半群定义的基础
上，增补如下：
$\forall x \in G \\ x^0=e;\\ x^{-n}=(x^{-1})^n(\forall n \in N)$

# 定义 5. 元素的阶 (rank)

设 $〈G, \ast 〉$ 是群。 $\forall g \in G$ 称
$k=min\{m:m\in N | \{0\} \land g^m=e \}$ 为元素 g 的阶，若这样的 k 不存在，则称 g 的阶为无穷

- 元素 g 的阶 k 是使 $g^m＝e$ 成立的最小正整数；
- 由于元素的自乘幂是一次一次乘的，因此这个无穷只能是可数无穷；

由定义 5 可知，么元是群中唯一的一个一阶元素；

群的阶和群中元素的阶这样两个阶的概念，这是两个根本不同的概念。

# 定理 5

设 $〈G, \ast 〉$ 是群。 $\forall g \in G$

若 g 的阶为 n，则 $g^1,g^2...g^n(=e)$ 互不相同；
若 g 的阶为无穷，则 $g^0(=e),g^1,g^2...g^n...$ 互不相同。

# 定理 6

设 $〈G, \ast 〉$ 是群。 $\forall g \in G,g与g^{-1}$ 有相同的阶。

# 定理 7

设 $〈G, \ast 〉$ 是群。 $\forall g \in G$

若 g 的阶有限，设其为 k，从而 $g^k=e$ 。则
1. $\forall m \in N,g^m=e \iff k|m$ (k 整除 m，即 $m=n\ast k$ )
2. $\forall m,n \in N,g^m=g^n \iff k|m-n$
若 g 的阶无限，则 $\forall m,n \in N,g^m=g^n \implies m=n$

# 定理 8

有限群中每个元素的阶都是有限的。设 $〈G, \ast 〉$ 是有限
群， $|G|＝n$ ，则 G 中每个元素的阶 $\leqslant n$ 。

# 循环群

# 定义 6. 循环群 (cyclic group)

设 $〈G, \ast 〉$ 是群。 $\exists g_0 \in G$ , 使得
$(\forall g \in G)(\exists n \in I)(g=g_0^n)$
则称 $〈G, \ast 〉$ 为循环群；同时称 $g_0$ 是该循环群的生成元 (generating element)。并且将 $〈G, \ast 〉$ 记作 $(g_0)$ 。

# 定理 9

设 $〈G, \ast 〉$ 为循环群，|G|＝n 。那么
1. $g_0$ 是生成元 $\iff g^{-1}_0$ 是生成元；
2. $g_0$ 是生成元 $\iff g_0$ 的阶是 n 。

# 定理 10

设 $〈G, \ast 〉$ 为循环群， $g_0$ 是生成元

若 $g_0$ 的阶为 m，则 $〈G, \ast 〉$ 与〈Nm, +m〉同构；
若 $g_0$ 的阶为无穷，则 $〈G, \ast 〉$ 与〈I,+〉同构；

# 定理 11. 循环群一定是交换群。

# 置换群（ * ）

# 定义 7. 置换群 (permutation group)

设所有 n 次置换构成的集合为 $S_n ，A\subseteq S_n,A \ne \varnothing,◇$ 是置换的合成运算，若 $〈A,◇〉$ 构成群，则称 $〈A, ◇〉$ 为一 (n 次) 置换群。

# 定理 12

n 个元素的非空集合 X 上的所有 n 次置换构成的集合 $S_n$ ，在置换的合成运算◇下构成一置换〈Sn,◇〉。称为 n 次对称群 (group of symmetry), 简记为 $S_n$ 。

# 定理 13.(Cayley 定理)

任何 n 阶有限群 $〈G, \ast 〉$ 都与一 n 次置换群同构。

# 子群

# 定义 8. 子群 (subgroup)

若群 $〈G, \ast 〉$ 的子代数系统 $〈S, \ast 〉$ 也是群，则称 $〈S, \ast 〉$
是 $〈G, \ast 〉$ 的子群。

验证子群，除了验证子代数系统的
$(1)S\subseteq G ； (2)S\ne \varnothing(3) \ast$ 运算关于 S 封闭；
还应该验证
(4) 有幺元 (并与群 G 中的幺元重合)；
(5) 有逆元 (并与群 G 中的同一元的逆元重合) ；
而结合律则不须验证，因为根据本章 §1 定理 3 可知，遗传。

群 $〈S, \ast 〉$ 是群 $〈G, \ast 〉$ 的子群，简记为 S< G ；

# 定理 14

设 $〈G, \ast 〉$ 是群， $S\subseteq G ,S\ne \varnothing$ , 那么
$〈S, \ast 〉是〈G, \ast 〉$ 的子群 $\iff$

封闭性： $\forall a \forall b(a \in S \land b\in S \implies a \ast b \in S)$
有逆元： $\forall a(a \in S \implies a^{-1} \in S)$

# 定理 15

设 $〈G, \ast 〉$ 是群， $S\subseteq G ,S\ne \varnothing$ , 那么
$〈S, \ast 〉$ 是 $〈G, \ast 〉$ 的子群 $\iff$
混合封闭性： $\forall a \forall b(a \in S \land b\in S \implies a \ast b^{-1} \in S)$

# 定理 16

设 $〈G, \ast 〉$ 是有限群， |G|＝n ， $S\subseteq G ,S\ne \varnothing$ , 那么
$〈S, \ast 〉$ 是 $〈G, \ast 〉$ 的子群 $\iff$
封闭性： $\forall a \forall b(a \in S \land b\in S \implies a \ast b \in S)$

# 例 20. 平凡子群

设 $〈G, \ast 〉$ 是群，则 $〈{e}, \ast 〉$ 和 $〈G, \ast 〉$ 是 $〈G, \ast 〉$ 的两个子群。由于每个群都有这样的子群，且这两个子群对问题的研究价值不大。故称这两个子群是 $〈G, \ast 〉$ 的平凡子群。

# 例 21

循环群的子群是循环群。即若 $〈G, \ast 〉$ 是循环群且 $〈S, \ast 〉$ 是 $〈G, \ast 〉$ 的子群，则 $〈S, \ast 〉$ 是循环群。

# 陪集与拉格郎日 (Lagrange) 定理

# 定义 9. 陪集 (coset)

设 $〈 G, \ast 〉$ 是群， $〈 H, \ast 〉$ 是 $〈 G, \ast 〉$ 的子群。对于任何元素 $a\in G$ ，

由 a 所确定的 H 在 G 中的左陪集 (left coset) 定义为
aH=\
由 a 所确定的 H 在 G 中的右陪集 (right coset) 定义为
Ha=\

称元素 a 是左陪集 aH 及右陪集 Ha 的代表元素，简称代表元

# 定理 17

设 $〈 G, \ast 〉$ 是群， $〈 H, \ast 〉$ 是 $〈 G, \ast 〉$ 的子群。
1. $S_l =\{aH:|a\in G\}$
2.S_r =\

此表示去掉重复元素

则 $S_l，S_r$ 均是 G 的划分

# 定理 18

设 $〈 G, \ast 〉$ 是群， $〈 H, \ast 〉$ 是 $〈 G, \ast 〉$ 的子群。则有：
1. $(\forall a\in G)(|aH|＝|H|)$
2. $(\forall a\in G)(|Ha|＝|H|)$

# 定理 19

群 $〈 G, \ast 〉$ 的子群 $〈 H, \ast 〉$ 的不同左陪集的个数等于它的不同右陪集的个数。即
$|S_l|＝|S_r|$

# 定义 10. 指数 (exponent)

子群 $〈 H, \ast 〉$ 关于群 $〈 G, \ast 〉$ 的不同左陪集 (或右陪集) 的个数 (或势) 称为群 $〈 G, \ast 〉$ 关于子群 $〈 H, \ast 〉$ 的指数。记为 $|G/H|$ 。

根据定义有 $|G/H| = |S_l|＝|S_r|$ ；

# 定理 20. 拉格朗日 (Lagrange) 定理

设 $〈 H, \ast 〉$ 是有限群 $〈 G, \ast 〉$ 的子群。则有
$|G| =|G/H|\cdot |H| (或 |G/H|=|G|/|H| )$ 。

推论 1. 素数阶群的子群只有两个，即两个平凡子群。
推论 2. 在有限群中，每个元素的阶都是群的阶的因子。
推论 3. 每个素数阶群都是循环群。
推论 4. 四阶不同构的群只有两个，一个是 4 阶循环群，一个是 Klein 4－群。