# 代数系统的基本概念

# 定义 1. 运算 (operation)

对于任何自然数$n\geqslant 1,n$ 元运算 f 是一个从 n 维叉积$X^n$ 到$X$ 的函数。
即$f ：X^n\to X$
封闭性：对于任意 n 个元素，有
$x_1,x_2\dots x_n \in X \implies f(x_1,x_2\dots,x_n) \in X$

$x_1,x_2\dots x_n \in X^n \implies f(x_1,x_2\dots,x_n) \in X$

# 定义 2. 代数系统，代数结构（algebra structure）

一个代数系统 (代数结构，简称代数) A 是如下的一个有序元组：
$A=(X,O_1,O_2...,O_m,R_1,R_2...,R_n,c_1,c_2...,c_l)$

其中：
1.$X\ne \varnothing$ 是一个任意集合，称为母集或者承载子（carrier）
2.$O_1,O_2...,O_m$ 是 X 上的 m 个运算（$m\geqslant 1$）
3.$R_1,R_2...,R_n$ 是 x 上的 n 个（序）关系（$n\geqslant 0$）
4.$c_1,c_2...,c_l \in X$ 是 X 中的 l 个特殊元素 ($l \geqslant 0$), 称为常项 (constants)

• 当 X 是有限集合时，称 A 为有限代数系统；
• 当 X 是无限集合时，称 A 为无限代数系统；
• 在一个代数系统中运算的集合不能是空的，必须至少有一个 X 上的运算。代数系统中各个运算的元 (阶) 数可能是不一样的，即每个运算都有自己的运算元数。

# 代数系统的基本性质

# 定义 3. 结合律 交换律 (associative law,commutative law)

设$( X, \ast)$ 是任一代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算。则称
1.$\ast$ 运算满足结合律$\iff$
$(\forall x\in X)(\forall y\in Y)(\forall z\in Z) ((x \ast y) \ast z=x \ast (y \ast z))$
2.$\ast 满足交换律 \iff$
$(\forall x\in X)(\forall y\in Y) (x \ast y=y \ast x)$

# 定义 4. 幺元 零元 (identity element,zero element)

设$(X, \ast )$ 是代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算，$x_0 \in X$。则称
1.$x_0是关于 \ast 运算的幺元\iff$
$(\forall x \in X)(x_0 \ast x=x \ast x_o=x)$
2.$x_0是关于 \ast 运算的零元\iff$
$(\forall x \in X)(x_0 \ast x=x \ast x_o=x_0)$

# 定理 1. 幺元、零元的唯一性

设$(X, \ast )$ 是代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算。则

1. 若关于$\ast$ 运算的幺元存在，则必是唯一的；
2. 若关于$\ast$ 运算的零元存在，则必是唯一的。

# 定义 5. 逆元 可逆性 (inverse element,invertibility)

设$(X, \ast ,e)$ 是代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算，e 是关于$\ast$ 运算的幺元。

1. 对于某一元素$x\in X$, 若存在着某个元素$y\in X$, 使得
   $x \ast y=y \ast x=e$
   则称 y 是 x 关于$\ast$ 运算的逆元，并称 x 关于$\ast$ 运算是可逆的 (invertible)，同时称 x 是
   关于$\ast$ 运算的可逆元；
2. 称$\ast$ 运算在 X 上是可逆的
   $\iff(\forall x\in X)(\exists y \in X)(x \ast y=y \ast x=e)$
   $\iff X中的每个元素都是关于 \ast 运算的可逆元$

# 定理 2. 逆元的唯一性

设$(X， \ast , e)$ 是代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算并且满足结合律，e 是幺元。对任何元素$x\in X$，若 x 的逆元存在，则必是唯一的。

# 定义 6. 消去律 (cancellation law)

消去律有三种形式：

1. 设$(X, \ast )$ 是代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算。
   $称 \ast 运算满足消去律\iff$
   $a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x \ast y=x \ast z\implies y=z)$
   $b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(y \ast x=z \ast x\implies y=z)$
2. 设$(X, \ast ,0)$ 是代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算， 0 是零元。
   $称 \ast 运算满足消去律\iff$
   $a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x\ne 0 \land x \ast y=x \ast z\implies y=z)$
   $b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x\ne 0 \land y \ast x=z \ast x\implies y=z)$
3. 设$(X, \ast ,\Delta)$ 是代数系统，$\ast , \Delta$ 都是 X 上的二元运算。
   $称 \ast 及\Delta 运算满足消去律\iff$
   $a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x \ast y=x \ast z\land x\Delta y=x\Delta z\implies y=z)$
   $b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(y \ast x=z \ast x\land y\Delta x=z\Delta x\implies y=z)$

# 定义 7. 分配律 (distributive law)

设$(X, \ast ,\Delta)$ 是代数系统，$\ast , \Delta$ 都是 X 上的二元运算。
1.$称 \ast 对\Delta 运算满足分配率\iff$
$a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x \ast (y\Delta z)=(x \ast y)\Delta (x \ast z))$
$b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)((y\Delta z) \ast x=(y \ast x)\Delta (z \ast x))$
2.$称\Delta 对 \ast 运算满足分配率\iff$
$a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x\Delta(y \ast z)=(x\Delta y) \ast (x\Delta z))$
$b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)((y \ast z)\Delta x=(y\Delta x) \ast (z\Delta x))$

# 定义 8. 反身律 鞋袜律

设$(X, \ast ,\clubsuit)$ 是代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算，$\clubsuit$ 是 X 上的一元运算。

1. 称$\clubsuit$ 运算满足反身律$\iff (\forall x \in X)((x^\clubsuit)^\clubsuit=x)$
2. 称$\clubsuit$ 运算关于$\ast$ 运算满足鞋袜律$\iff (\forall x \in X)(\forall y \in X)((x \ast y)^\clubsuit=y^\clubsuit \ast x^\clubsuit)$

# 定义 9. 反身律 de Morgan 律

设$(X, \ast ,\Delta,\clubsuit)$ 是代数系统，$\ast , \Delta$ 都是 X 上的二元运算，$\clubsuit$ 是 X 上的一元运算。

1. 称$\clubsuit$ 满足反身律$\iff (\forall x \in X)((x^\clubsuit)^\clubsuit=x)$
2. 称$\clubsuit$ 运算关于$\ast$ 和$\Delta$ 运算满足 de Morgan 律$\iff$
   $a)(\forall x \in X)(\forall y\in X)((x \ast y)^\clubsuit=x^\clubsuit\Delta y^\clubsuit);$
   $b)(\forall x \in X)(\forall y\in X)((x\Delta y)^\clubsuit=x^\clubsuit \ast y^\clubsuit)$

# 子代数系统

# 定义 10. 子代数系统 (subalgebra system)

设$A=(X,O_1,O_2,...,O_m)$ 是代数系统，其中$O_1,O_2,...,O_m$ 是 X 上的 m 个运算，其元数分别为$p_1,p_2...p_m$。若有子集$S\subseteq X$ 且$S\ne\varnothing$, 对于 A 中的每一个运算都有其子关系，使得子关系也是 S 上的$P_i$ 元运算，从而使得$(S,O_{S1},O_{S2},...,O_{Sm})$ 也构成一代数系统，则 称此代数系统是 A 的子代数系统，记为
$A_s=(S,O_1,O_2,...,O_m)$

# 定理 3. 遗传性定理

设$(X， \ast )$ 是代数系统，$\ast$ 是 X 上的二元运算，$(S， \ast ）$是$(X， \ast ）$的子代数系统，则
1.$\ast$ 运算在 X 上有结合律$\implies \ast$ 运算在 S 上有结合律
2.$\ast$ 运算在 X 上有交换律$\implies \ast$ 运算在 S 上有交换律

代数系统的同态和同构

# 代数系统间的同态

# 定义 1. 同类型 (same type)

称两个代数系统
$A=(X,O_1,O_2,...,O_m)$ 和$B=(Y,O_1',O_2',...,O_m')$
是同类型的代数系统$\iff$
1.$m=n$
2.$O_i$ 运算和对应的$O_i'$ 运算的元数相同

# 定义 2. 同态 (homomorphism)

称两个同类型的代数系统
$A=(X,O_1,O_2,...,O_m)$ 和$B=(Y,O_1',O_2',...,O_m')$
是同态的$\iff$ 存在一个函数$h:X\to Y$ 使得：
对任何一对运算$O_i$ 和$O_i'$ 都满足如下的同态公式：
$\forall(x_1,x_2,...x_{pi})\in X^{pi} \\\\ h(O_i(x_1,x_2,...x_{pi}))=O_I'(h(x_1),h(x_2),...,h(x_{pi}))$

# 定义 3. 同态象 单同态 满同态

设代数系统$A=(X,O_1,O_2,...,O_m)$ 同态于$B=(Y,O_1',O_2',...,O_m')$，其同态函数为$h:X\to Y$。

1. 称 X 在 h 下的象集$h(X)\subseteq Y$ 与 B 的所有运算一起组成的
   $C=(h(X),O_1',O_2'...O_m')$ 是 A 的同态象
2. 若 h 是单射函数，则称 h 是从 A 到 B 的单同态函数并称 C 为 A 的单同态象；
3. 若 h 是满射函数，则称 h 是从 A 到 B 的满同态函数；并称 B 为 A 的满同态
   象 (这时有$h(X)=Y ,C=B$) 。

# 定理 1

设代数系统$A=(X,O_1,O_2,...,O_m)$ 同态于$B=(Y,O_1',O_2',...,O_m')$，其同态函数为$h:X\to Y$。则 A 的同态象$C=(h(X),O_1',O_2'...O_m')$ 是 B 的子代数系统

# 定理 2. 同态遗传定理

$设(X， \ast )和(Y，o) 是两个代数系统， \ast 和 o 分别是X和Y上的二元运 算，h 是从(X， \ast )到(Y，o )的满同态函数，那么：$
1.$\ast$ 运算满足结合律$\implies$o 运算满足结合律；
2.$\ast$ 运算满足交换律$\implies$o 运算满足交换律；
3. e 是关于$*$ 运算的幺元$\implies h(e)$ 是关于 o 运算的幺元；
4. 0 是关于$*$ 运算的零元$\implies h(0)$ 是关于 o 运算的零元；
5. x 关于$\ast$ 运算有逆元$x^{-1} \implies h(x)$ 关于 o 运算的逆元是$h(x^{-1})$,
即$[h(x) ]^{-1} = h(x^{-1})$。

# 定义 4. 同构 (isomorphism)

设代数系统$A=(X,O_1,O_2,...,O_m)$ 同态于$B=(Y,O_1',O_2',...,O_m')$，其同态函数为$h:X\to Y$。若 h 是双射函数，则称 h 是从 A 到 B 的同构函数，记为$h：A\cong B$；并且这时称 A 和 B 同构，记为$A\cong B$。

同态和同构概念要求两个代数系统必须是同类型的。
同构概念要求两个集合必须是等势的 (即$|X|=|Y|$)。
同构概念是双向的、相互的、可逆的。
同态概念是单方向的、不可逆的。

# 定理 3. 代数系统间的同构关系是 X 上的等价关系。

• 自反性
• 对称性
• 传递性