# 代数系统的基本概念

# 定义 1. 运算 (operation)

对于任何自然数n1,nn\geqslant 1,n 元运算 f 是一个从 n 维叉积XnX^nXX 的函数。
fXnXf :X^n\to X
封闭性:对于任意 n 个元素,有
x1,x2xnX    f(x1,x2,xn)Xx_1,x_2\dots x_n \in X \implies f(x_1,x_2\dots,x_n) \in X

x1,x2xnXn    f(x1,x2,xn)Xx_1,x_2\dots x_n \in X^n \implies f(x_1,x_2\dots,x_n) \in X

# 定义 2. 代数系统,代数结构(algebra structure)

一个代数系统 (代数结构,简称代数) A 是如下的一个有序元组:
A=(X,O1,O2...,Om,R1,R2...,Rn,c1,c2...,cl)A=(X,O_1,O_2...,O_m,R_1,R_2...,R_n,c_1,c_2...,c_l)

其中:
1.XX\ne \varnothing 是一个任意集合,称为母集或者承载子(carrier)
2.O1,O2...,OmO_1,O_2...,O_m 是 X 上的 m 个运算(m1m\geqslant 1
3.R1,R2...,RnR_1,R_2...,R_n 是 x 上的 n 个(序)关系(n0n\geqslant 0
4.c1,c2...,clXc_1,c_2...,c_l \in X 是 X 中的 l 个特殊元素 (l0l \geqslant 0), 称为常项 (constants)

  • 当 X 是有限集合时,称 A 为有限代数系统;
  • 当 X 是无限集合时,称 A 为无限代数系统;
  • 在一个代数系统中运算的集合不能是空的,必须至少有一个 X 上的运算。代数系统中各个运算的元 (阶) 数可能是不一样的,即每个运算都有自己的运算元数。

# 代数系统的基本性质

# 定义 3. 结合律 交换律 (associative law,commutative law)

(X,)( X, \ast) 是任一代数系统,\ast 是 X 上的二元运算。则称
1.\ast 运算满足结合律    \iff
(xX)(yY)(zZ)((xy)z=x(yz))(\forall x\in X)(\forall y\in Y)(\forall z\in Z) ((x \ast y) \ast z=x \ast (y \ast z))
2.满足交换律    \ast 满足交换律 \iff
(xX)(yY)(xy=yx)(\forall x\in X)(\forall y\in Y) (x \ast y=y \ast x)

# 定义 4. 幺元 零元 (identity element,zero element)

(X,)(X, \ast ) 是代数系统,\ast 是 X 上的二元运算,x0Xx_0 \in X。则称
1.x0是关于运算的幺元    x_0是关于 \ast 运算的幺元\iff
(xX)(x0x=xxo=x)(\forall x \in X)(x_0 \ast x=x \ast x_o=x)
2.x0是关于运算的零元    x_0是关于 \ast 运算的零元\iff
(xX)(x0x=xxo=x0)(\forall x \in X)(x_0 \ast x=x \ast x_o=x_0)

# 定理 1. 幺元、零元的唯一性

(X,)(X, \ast ) 是代数系统,\ast 是 X 上的二元运算。则

  1. 若关于\ast 运算的幺元存在,则必是唯一的;
  2. 若关于\ast 运算的零元存在,则必是唯一的。

# 定义 5. 逆元 可逆性 (inverse element,invertibility)

(X,,e)(X, \ast ,e) 是代数系统,\ast 是 X 上的二元运算,e 是关于\ast 运算的幺元。

  1. 对于某一元素xXx\in X, 若存在着某个元素yXy\in X, 使得
    xy=yx=ex \ast y=y \ast x=e
    则称 y 是 x 关于\ast 运算的逆元,并称 x 关于\ast 运算是可逆的 (invertible),同时称 x 是
    关于\ast 运算的可逆元;
  2. \ast 运算在 X 上是可逆的
        (xX)(yX)(xy=yx=e)\iff(\forall x\in X)(\exists y \in X)(x \ast y=y \ast x=e)
        X中的每个元素都是关于运算的可逆元\iff X中的每个元素都是关于 \ast 运算的可逆元

# 定理 2. 逆元的唯一性

(X,e)(X, \ast , e) 是代数系统,\ast 是 X 上的二元运算并且满足结合律,e 是幺元。对任何元素xXx\in X,若 x 的逆元存在,则必是唯一的。

# 定义 6. 消去律 (cancellation law)

消去律有三种形式:

  1. (X,)(X, \ast ) 是代数系统,\ast 是 X 上的二元运算。
    运算满足消去律    称 \ast 运算满足消去律\iff
    a)(xX)(yX)(zX)(xy=xz    y=z)a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x \ast y=x \ast z\implies y=z)
    b)(xX)(yX)(zX)(yx=zx    y=z)b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(y \ast x=z \ast x\implies y=z)
  2. (X,,0)(X, \ast ,0) 是代数系统,\ast 是 X 上的二元运算, 0 是零元。
    运算满足消去律    称 \ast 运算满足消去律\iff
    a)(xX)(yX)(zX)(x0xy=xz    y=z)a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x\ne 0 \land x \ast y=x \ast z\implies y=z)
    b)(xX)(yX)(zX)(x0yx=zx    y=z)b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x\ne 0 \land y \ast x=z \ast x\implies y=z)
  3. (X,,Δ)(X, \ast ,\Delta) 是代数系统,,Δ\ast , \Delta 都是 X 上的二元运算。
    Δ运算满足消去律    称 \ast 及\Delta 运算满足消去律\iff
    a)(xX)(yX)(zX)(xy=xzxΔy=xΔz    y=z)a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x \ast y=x \ast z\land x\Delta y=x\Delta z\implies y=z)
    b)(xX)(yX)(zX)(yx=zxyΔx=zΔx    y=z)b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(y \ast x=z \ast x\land y\Delta x=z\Delta x\implies y=z)

# 定义 7. 分配律 (distributive law)

(X,,Δ)(X, \ast ,\Delta) 是代数系统,,Δ\ast , \Delta 都是 X 上的二元运算。
1.Δ运算满足分配率    称 \ast 对\Delta 运算满足分配率\iff
a)(xX)(yX)(zX)(x(yΔz)=(xy)Δ(xz))a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x \ast (y\Delta z)=(x \ast y)\Delta (x \ast z))
b)(xX)(yX)(zX)((yΔz)x=(yx)Δ(zx))b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)((y\Delta z) \ast x=(y \ast x)\Delta (z \ast x))
2.Δ运算满足分配率    称\Delta 对 \ast 运算满足分配率\iff
a)(xX)(yX)(zX)(xΔ(yz)=(xΔy)(xΔz))a)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)(x\Delta(y \ast z)=(x\Delta y) \ast (x\Delta z))
b)(xX)(yX)(zX)((yz)Δx=(yΔx)(zΔx))b)(\forall x \in X)(\forall y \in X)(\forall z \in X)((y \ast z)\Delta x=(y\Delta x) \ast (z\Delta x))

# 定义 8. 反身律 鞋袜律

(X,,)(X, \ast ,\clubsuit) 是代数系统,\ast 是 X 上的二元运算,\clubsuit 是 X 上的一元运算。

  1. \clubsuit 运算满足反身律    (xX)((x)=x)\iff (\forall x \in X)((x^\clubsuit)^\clubsuit=x)
  2. \clubsuit 运算关于\ast 运算满足鞋袜律    (xX)(yX)((xy)=yx)\iff (\forall x \in X)(\forall y \in X)((x \ast y)^\clubsuit=y^\clubsuit \ast x^\clubsuit)

# 定义 9. 反身律 de Morgan 律

(X,,Δ,)(X, \ast ,\Delta,\clubsuit) 是代数系统,,Δ\ast , \Delta 都是 X 上的二元运算,\clubsuit 是 X 上的一元运算。

  1. \clubsuit 满足反身律    (xX)((x)=x)\iff (\forall x \in X)((x^\clubsuit)^\clubsuit=x)
  2. \clubsuit 运算关于\astΔ\Delta 运算满足 de Morgan 律    \iff
    a)(xX)(yX)((xy)=xΔy);a)(\forall x \in X)(\forall y\in X)((x \ast y)^\clubsuit=x^\clubsuit\Delta y^\clubsuit);
    b)(xX)(yX)((xΔy)=xy)b)(\forall x \in X)(\forall y\in X)((x\Delta y)^\clubsuit=x^\clubsuit \ast y^\clubsuit)

# 子代数系统

# 定义 10. 子代数系统 (subalgebra system)

A=(X,O1,O2,...,Om)A=(X,O_1,O_2,...,O_m) 是代数系统,其中O1,O2,...,OmO_1,O_2,...,O_m 是 X 上的 m 个运算,其元数分别为p1,p2...pmp_1,p_2...p_m。若有子集SXS\subseteq XSS\ne\varnothing, 对于 A 中的每一个运算都有其子关系,使得子关系也是 S 上的PiP_i 元运算,从而使得(S,OS1,OS2,...,OSm)(S,O_{S1},O_{S2},...,O_{Sm}) 也构成一代数系统,则 称此代数系统是 A 的子代数系统,记为
As=(S,O1,O2,...,Om)A_s=(S,O_1,O_2,...,O_m)

# 定理 3. 遗传性定理

(X)(X, \ast ) 是代数系统,\ast 是 X 上的二元运算,(S(S, \ast )(X(X, \ast )的子代数系统,则
1.\ast 运算在 X 上有结合律    \implies \ast 运算在 S 上有结合律
2.\ast 运算在 X 上有交换律    \implies \ast 运算在 S 上有交换律

代数系统的同态和同构

# 代数系统间的同态

# 定义 1. 同类型 (same type)

称两个代数系统
A=(X,O1,O2,...,Om)A=(X,O_1,O_2,...,O_m)B=(Y,O1,O2,...,Om)B=(Y,O_1',O_2',...,O_m')
是同类型的代数系统    \iff
1.m=nm=n
2.OiO_i 运算和对应的OiO_i' 运算的元数相同

# 定义 2. 同态 (homomorphism)

称两个同类型的代数系统
A=(X,O1,O2,...,Om)A=(X,O_1,O_2,...,O_m)B=(Y,O1,O2,...,Om)B=(Y,O_1',O_2',...,O_m')
是同态的    \iff 存在一个函数h:XYh:X\to Y 使得:
对任何一对运算OiO_iOiO_i' 都满足如下的同态公式:
(x1,x2,...xpi)Xpih(Oi(x1,x2,...xpi))=OI(h(x1),h(x2),...,h(xpi))\forall(x_1,x_2,...x_{pi})\in X^{pi} \\\\ h(O_i(x_1,x_2,...x_{pi}))=O_I'(h(x_1),h(x_2),...,h(x_{pi}))

# 定义 3. 同态象 单同态 满同态

设代数系统A=(X,O1,O2,...,Om)A=(X,O_1,O_2,...,O_m) 同态于B=(Y,O1,O2,...,Om)B=(Y,O_1',O_2',...,O_m'),其同态函数为h:XYh:X\to Y

  1. 称 X 在 h 下的象集h(X)Yh(X)\subseteq Y 与 B 的所有运算一起组成的
    C=(h(X),O1,O2...Om)C=(h(X),O_1',O_2'...O_m') 是 A 的同态象
  2. 若 h 是单射函数,则称 h 是从 A 到 B 的单同态函数并称 C 为 A 的单同态象;
  3. 若 h 是满射函数,则称 h 是从 A 到 B 的满同态函数;并称 B 为 A 的满同态
    象 (这时有h(X)=Y,C=Bh(X)=Y ,C=B) 。

# 定理 1

设代数系统A=(X,O1,O2,...,Om)A=(X,O_1,O_2,...,O_m) 同态于B=(Y,O1,O2,...,Om)B=(Y,O_1',O_2',...,O_m'),其同态函数为h:XYh:X\to Y。则 A 的同态象C=(h(X),O1,O2...Om)C=(h(X),O_1',O_2'...O_m') 是 B 的子代数系统

# 定理 2. 同态遗传定理

(X)(Yo)是两个代数系统,o分别是XY上的二元运算,h是从(X)(Yo)的满同态函数,那么:设(X, \ast )和(Y,o) 是两个代数系统, \ast 和 o 分别是X和Y上的二元运 算,h 是从(X, \ast )到(Y,o )的满同态函数,那么:
1.\ast 运算满足结合律    \implieso 运算满足结合律;
2.\ast 运算满足交换律    \implieso 运算满足交换律;
3. e 是关于* 运算的幺元    h(e)\implies h(e) 是关于 o 运算的幺元;
4. 0 是关于* 运算的零元    h(0)\implies h(0) 是关于 o 运算的零元;
5. x 关于\ast 运算有逆元x1    h(x)x^{-1} \implies h(x) 关于 o 运算的逆元是h(x1)h(x^{-1}),
[h(x)]1=h(x1)[h(x) ]^{-1} = h(x^{-1})

# 定义 4. 同构 (isomorphism)

设代数系统A=(X,O1,O2,...,Om)A=(X,O_1,O_2,...,O_m) 同态于B=(Y,O1,O2,...,Om)B=(Y,O_1',O_2',...,O_m'),其同态函数为h:XYh:X\to Y。若 h 是双射函数,则称 h 是从 A 到 B 的同构函数,记为hABh:A\cong B;并且这时称 A 和 B 同构,记为ABA\cong B

同态和同构概念要求两个代数系统必须是同类型的。
同构概念要求两个集合必须是等势的 (即X=Y|X|=|Y|)。
同构概念是双向的、相互的、可逆的。
同态概念是单方向的、不可逆的。

# 定理 3. 代数系统间的同构关系是 X 上的等价关系。

  • 自反性
  • 对称性
  • 传递性
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