# 代数系统的基本概念
# 定义 1. 运算 (operation)
对于任何自然数n⩾1,n 元运算 f 是一个从 n 维叉积Xn 到X 的函数。
即f:Xn→X
封闭性:对于任意 n 个元素,有
x1,x2…xn∈X⟹f(x1,x2…,xn)∈X
x1,x2…xn∈Xn⟹f(x1,x2…,xn)∈X
# 定义 2. 代数系统,代数结构(algebra structure)
一个代数系统 (代数结构,简称代数) A 是如下的一个有序元组:
A=(X,O1,O2...,Om,R1,R2...,Rn,c1,c2...,cl)
其中:
1.X=∅ 是一个任意集合,称为母集或者承载子(carrier)
2.O1,O2...,Om 是 X 上的 m 个运算(m⩾1)
3.R1,R2...,Rn 是 x 上的 n 个(序)关系(n⩾0)
4.c1,c2...,cl∈X 是 X 中的 l 个特殊元素 (l⩾0), 称为常项 (constants)
- 当 X 是有限集合时,称 A 为有限代数系统;
- 当 X 是无限集合时,称 A 为无限代数系统;
- 在一个代数系统中运算的集合不能是空的,必须至少有一个 X 上的运算。代数系统中各个运算的元 (阶) 数可能是不一样的,即每个运算都有自己的运算元数。
# 代数系统的基本性质
# 定义 3. 结合律 交换律 (associative law,commutative law)
设(X,∗) 是任一代数系统,∗ 是 X 上的二元运算。则称
1.∗ 运算满足结合律⟺
(∀x∈X)(∀y∈Y)(∀z∈Z)((x∗y)∗z=x∗(y∗z))
2.∗满足交换律⟺
(∀x∈X)(∀y∈Y)(x∗y=y∗x)
# 定义 4. 幺元 零元 (identity element,zero element)
设(X,∗) 是代数系统,∗ 是 X 上的二元运算,x0∈X。则称
1.x0是关于∗运算的幺元⟺
(∀x∈X)(x0∗x=x∗xo=x)
2.x0是关于∗运算的零元⟺
(∀x∈X)(x0∗x=x∗xo=x0)
# 定理 1. 幺元、零元的唯一性
设(X,∗) 是代数系统,∗ 是 X 上的二元运算。则
- 若关于∗ 运算的幺元存在,则必是唯一的;
- 若关于∗ 运算的零元存在,则必是唯一的。
# 定义 5. 逆元 可逆性 (inverse element,invertibility)
设(X,∗,e) 是代数系统,∗ 是 X 上的二元运算,e 是关于∗ 运算的幺元。
- 对于某一元素x∈X, 若存在着某个元素y∈X, 使得
x∗y=y∗x=e
则称 y 是 x 关于∗ 运算的逆元,并称 x 关于∗ 运算是可逆的 (invertible),同时称 x 是
关于∗ 运算的可逆元;
- 称∗ 运算在 X 上是可逆的
⟺(∀x∈X)(∃y∈X)(x∗y=y∗x=e)
⟺X中的每个元素都是关于∗运算的可逆元
# 定理 2. 逆元的唯一性
设(X,∗,e) 是代数系统,∗ 是 X 上的二元运算并且满足结合律,e 是幺元。对任何元素x∈X,若 x 的逆元存在,则必是唯一的。
# 定义 6. 消去律 (cancellation law)
消去律有三种形式:
- 设(X,∗) 是代数系统,∗ 是 X 上的二元运算。
称∗运算满足消去律⟺
a)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)(x∗y=x∗z⟹y=z)
b)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)(y∗x=z∗x⟹y=z)
- 设(X,∗,0) 是代数系统,∗ 是 X 上的二元运算, 0 是零元。
称∗运算满足消去律⟺
a)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)(x=0∧x∗y=x∗z⟹y=z)
b)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)(x=0∧y∗x=z∗x⟹y=z)
- 设(X,∗,Δ) 是代数系统,∗,Δ 都是 X 上的二元运算。
称∗及Δ运算满足消去律⟺
a)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)(x∗y=x∗z∧xΔy=xΔz⟹y=z)
b)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)(y∗x=z∗x∧yΔx=zΔx⟹y=z)
# 定义 7. 分配律 (distributive law)
设(X,∗,Δ) 是代数系统,∗,Δ 都是 X 上的二元运算。
1.称∗对Δ运算满足分配率⟺
a)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)(x∗(yΔz)=(x∗y)Δ(x∗z))
b)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)((yΔz)∗x=(y∗x)Δ(z∗x))
2.称Δ对∗运算满足分配率⟺
a)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)(xΔ(y∗z)=(xΔy)∗(xΔz))
b)(∀x∈X)(∀y∈X)(∀z∈X)((y∗z)Δx=(yΔx)∗(zΔx))
# 定义 8. 反身律 鞋袜律
设(X,∗,♣) 是代数系统,∗ 是 X 上的二元运算,♣ 是 X 上的一元运算。
- 称♣ 运算满足反身律⟺(∀x∈X)((x♣)♣=x)
- 称♣ 运算关于∗ 运算满足鞋袜律⟺(∀x∈X)(∀y∈X)((x∗y)♣=y♣∗x♣)
# 定义 9. 反身律 de Morgan 律
设(X,∗,Δ,♣) 是代数系统,∗,Δ 都是 X 上的二元运算,♣ 是 X 上的一元运算。
- 称♣ 满足反身律⟺(∀x∈X)((x♣)♣=x)
- 称♣ 运算关于∗ 和Δ 运算满足 de Morgan 律⟺
a)(∀x∈X)(∀y∈X)((x∗y)♣=x♣Δy♣);
b)(∀x∈X)(∀y∈X)((xΔy)♣=x♣∗y♣)
# 子代数系统
# 定义 10. 子代数系统 (subalgebra system)
设A=(X,O1,O2,...,Om) 是代数系统,其中O1,O2,...,Om 是 X 上的 m 个运算,其元数分别为p1,p2...pm。若有子集S⊆X 且S=∅, 对于 A 中的每一个运算都有其子关系,使得子关系也是 S 上的Pi 元运算,从而使得(S,OS1,OS2,...,OSm) 也构成一代数系统,则 称此代数系统是 A 的子代数系统,记为
As=(S,O1,O2,...,Om)
# 定理 3. 遗传性定理
设(X,∗) 是代数系统,∗ 是 X 上的二元运算,(S,∗)是(X,∗)的子代数系统,则
1.∗ 运算在 X 上有结合律⟹∗ 运算在 S 上有结合律
2.∗ 运算在 X 上有交换律⟹∗ 运算在 S 上有交换律
代数系统的同态和同构
# 代数系统间的同态
# 定义 1. 同类型 (same type)
称两个代数系统
A=(X,O1,O2,...,Om) 和B=(Y,O1′,O2′,...,Om′)
是同类型的代数系统⟺
1.m=n
2.Oi 运算和对应的Oi′ 运算的元数相同
# 定义 2. 同态 (homomorphism)
称两个同类型的代数系统
A=(X,O1,O2,...,Om) 和B=(Y,O1′,O2′,...,Om′)
是同态的⟺ 存在一个函数h:X→Y 使得:
对任何一对运算Oi 和Oi′ 都满足如下的同态公式:
∀(x1,x2,...xpi)∈Xpih(Oi(x1,x2,...xpi))=OI′(h(x1),h(x2),...,h(xpi))
# 定义 3. 同态象 单同态 满同态
设代数系统A=(X,O1,O2,...,Om) 同态于B=(Y,O1′,O2′,...,Om′),其同态函数为h:X→Y。
- 称 X 在 h 下的象集h(X)⊆Y 与 B 的所有运算一起组成的
C=(h(X),O1′,O2′...Om′) 是 A 的同态象
- 若 h 是单射函数,则称 h 是从 A 到 B 的单同态函数并称 C 为 A 的单同态象;
- 若 h 是满射函数,则称 h 是从 A 到 B 的满同态函数;并称 B 为 A 的满同态
象 (这时有h(X)=Y,C=B) 。
# 定理 1
设代数系统A=(X,O1,O2,...,Om) 同态于B=(Y,O1′,O2′,...,Om′),其同态函数为h:X→Y。则 A 的同态象C=(h(X),O1′,O2′...Om′) 是 B 的子代数系统
# 定理 2. 同态遗传定理
设(X,∗)和(Y,o)是两个代数系统,∗和o分别是X和Y上的二元运算,h是从(X,∗)到(Y,o)的满同态函数,那么:
1.∗ 运算满足结合律⟹o 运算满足结合律;
2.∗ 运算满足交换律⟹o 运算满足交换律;
3. e 是关于∗ 运算的幺元⟹h(e) 是关于 o 运算的幺元;
4. 0 是关于∗ 运算的零元⟹h(0) 是关于 o 运算的零元;
5. x 关于∗ 运算有逆元x−1⟹h(x) 关于 o 运算的逆元是h(x−1),
即[h(x)]−1=h(x−1)。
# 定义 4. 同构 (isomorphism)
设代数系统A=(X,O1,O2,...,Om) 同态于B=(Y,O1′,O2′,...,Om′),其同态函数为h:X→Y。若 h 是双射函数,则称 h 是从 A 到 B 的同构函数,记为h:A≅B;并且这时称 A 和 B 同构,记为A≅B。
同态和同构概念要求两个代数系统必须是同类型的。
同构概念要求两个集合必须是等势的 (即∣X∣=∣Y∣)。
同构概念是双向的、相互的、可逆的。
同态概念是单方向的、不可逆的。
# 定理 3. 代数系统间的同构关系是 X 上的等价关系。