# 递归的概念

• 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数

• 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。

• 分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

• 优点:
  结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便

• 缺点:
  递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

• 在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。

  1. 采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
  2. 用递推来实现递归函数。
  3. 通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。
     后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。

# 分治的基本思想

分治法的基本思想是将一个规模为 n 的问题分解为 k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解

# 分治法的适用条件

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

• 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
• 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
• 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
• 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

# 代码框架

divide-and-conquer(P)

  {

    if ( | P | <= n0) adhoc(P);   // 解决小规模的问题

    divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；// 分解问题

    for (i=1,i<=k,i++)

      yi=divide-and-conquer(Pi);  // 递归的解各子问题

    return merge(y1,...,yk);  // 将各子问题的解合并为原问题的解

  }

# 求解递归

# 猜测法

用于验证

# 递归树法

在原函数中，每进行一次分解就带来一份固定的$n^2$ 的开销，也就是分解每进行一层，除了叶子的开销外要额外付出$n^2$ 的开销，那么就可以通过统计分解数的每一层的开销，和所有叶子结点的开销来表达总开销.

# 递归树法例题

1. $T (n) = 3T (n/4) + cn^2$

2. $T(n) = T (n/3) + T (2n/3) + cn$

# 主方法

$T(n)=aT(n/b)+f(n)$
要求$a \geq 1,b> 1,f\ asymptotically\ positive$,
$compare\ f(n)\ with\ n^{log_ba}$:

1. $f(n)=O(n^{log_ba-\epsilon}) for\ some\ constant\ \epsilon >0$.
   $T(n)=\Theta(n^{log_ba})$,$f(n)$ 增长率多项式小于$n^{log_ba}\ by\ n^\epsilon$
2. $f(n)=\Theta(n^{log_ba}lg^kn) for\ some\ constant\ k \geq 0$.
   $T(n)=\Theta(n^{log_ba}lg^{k+1}n)$,$f(n)$ 与$n^{log_ba}$ 增长率一致
3. $f(n)=\Omega(n^{log_ba+\epsilon}) for\ some\ constant\ \epsilon >0$.
   $T(n)=\Theta(f(n))$.
   $f(n)$ 增长率多项式大于$n^{log_ba}\ by\ n^\epsilon$.
   $f(n)$ 满足正则条件:$af(n/b)\leq cf(n) \ for \ costant \ c<1$

# 主方法例题

1. $T(n)=4T(n/2)+n$

2. $T(n)=4T(n/2)+n^2$

3. $T(n)=4T(n/2)+n^3$

4. $T(n)=4T(n/2)+n^2/lgn$

# General method(Akra-Bazzi)

$T(n)=\displaystyle \sum ^k_{i=1}a_iT(n/b_i)+f(n)$

当$\displaystyle \sum ^k_{i=1}(a_i/b_i^p)=1$ 时，用$n^p$ 替代$n^{log_ba}$, 即和主方法一致

# 根据代码判断复杂度的方法

1. for /while 循环
   循环体内计算时间 * 循环次数；
2. 嵌套循环
   循环体内计算时间 * 所有循环次数；
3. 顺序语句
   各语句计算时间相加；
4. if-else 语句
   if 语句计算时间和 else 语句计算时间的较大者。
5. 求解递归
6. 赋值

# 分治算法设计与技巧重要知识点

# 二分搜索

template<class Type> 

int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r)

{

     while (r >= l){ 

        int m = (l+r)/2;

        if (x == a[m]) return m;

        if (x < a[m]) r = m-1; else l = m+1;

        }

    return -1;

}

算法复杂度分析：
每执行一次算法的 while 循环， 待搜索数组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，while 循环被执行了 O (logn) 次。循环体内运算需要 O (1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为 O (logn) 。

# 大整数乘法

请设计一个有效的算法，可以进行两个 n 位大整数的乘法运算
$X = a 2^{n/2} + b ,\ Y = c 2^{n/2} + d$.
$XY = ac 2^n + (ad+bc) 2^{n/2} + bd$.

1. $XY = ac 2^n + ((a-c)(b-d)+ac+bd) 2^{n/2} + bd$.
2. $XY = ac 2^n + ((a+c)(b+d)-ac-bd) 2^{n/2} + bd$.

两个 XY 的复杂度都是$O(n^{log3})$，但考虑到 a+c,b+d 可能得到 m+1 位的结果，使问题的规模变大，故不选择第 2 种方案。
算法复杂度分析：
$T(n)=\begin{cases} O(1)\ n=1\\ 3T(n/2)+O(n)\ n>1 \end{cases}$.
$T(n)=O(n^{log3}) =O(n^{1.59})$

# strassen 矩阵乘法

将矩阵 A，B 和 C 中每一矩阵都分块成 4 个大小相等的子矩阵。由此可将方程 C=AB 重写为：
$\begin{bmatrix} C_{11} &C_{12}\\ C_{12}&C_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A_{11} &A_{12}\\ A_{12}&A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} &B_{12}\\ B_{12}&B_{22} \end{bmatrix}$,
由此可得

$C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}\\ C_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ C_{21}=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}\\ C_{22}=A_{22}B_{12}+A_{22}B_{22}$.

为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。

$\begin{matrix} M_1=A_{11}(B_{12}-B_{22})\\ M_2=(A_{11}+A_{12})B_{22}\\ M_3=(A_{21}+A_{22})B_{11}\\ M_4=A_{22}(B_{21}-B_{11})\\ M_5=(A_{11}+A_{22})(B_{11}+B_{22})\\ M_6=(A_{12}-A_{22})(B_{21}+B_{22})\\ M_7=(A_{11}-A_{21})(B_{11}+B_{12}) \end{matrix} \implies \begin{matrix} C_{11}=M_4+M_5+M_6-M_2\\ C_{12}=M_1+M_2\\ C_{21}=M_3+M_4\\ C_{22}=M_1+M_5-M_3-M_7 \end{matrix}$.

算法复杂度分析：
$T(n)= \begin{cases} O(1)\ n=2\\ 8T(n/2)+O(n^2)\ n>2 \end{cases}$.

$T(n)=O(n^{log7}) =O(n^{2.81})$

# 棋盘覆盖

在一个$2^k×2^k$ 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的 4 种不同形态的 L 型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖。

当 k>0 时，将$2^k×2^k$ 棋盘分割为 4 个$2^{k-1}×2^{k-1}$ 子棋盘 (a) 所示。
特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小棋盘的会合处，如 (b) 所示，从而将原问题转化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘 1×1。

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)

   {

      if (size == 1) return;

      int t = tile++,  // L 型骨牌号

        s = size/2;  // 分割棋盘

      // 覆盖左上角子棋盘

      if (dr < tr + s && dc < tc + s)

         // 特殊方格在此棋盘中

         chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);

      else {// 此棋盘中无特殊方格

         // 用 t 号 L 型骨牌覆盖右下角

         board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;

         // 覆盖其余方格

         chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);}

      // 覆盖右上角子棋盘

      if (dr < tr + s && dc >= tc + s)

         // 特殊方格在此棋盘中

         chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);

      else {// 此棋盘中无特殊方格

         // 用 t 号 L 型骨牌覆盖左下角

        board[tr + s - 1][tc + s] = t;

         // 覆盖其余方格

         chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);}

        // 覆盖左下角子棋盘

      if (dr >= tr + s && dc < tc + s)

         // 特殊方格在此棋盘中

         chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);

      else {// 用 t 号 L 型骨牌覆盖右上角

         board[tr + s][tc + s - 1] = t;

         // 覆盖其余方格

         chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);}

      // 覆盖右下角子棋盘

      if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)

         // 特殊方格在此棋盘中

         chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);

      else {// 用 t 号 L 型骨牌覆盖左上角

         board[tr + s][tc + s] = t;

         // 覆盖其余方格

         chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);}

   }

算法复杂度分析：

$T(k)=\begin{cases} O(1)\ k=0\\ 4T(k-1)+O(1)\ k>0 \end{cases}$.

$T(n)=O(4^k)$ 渐进意义下的最优算法

# 合并排序

将待排序元素分成大小大致相同的 2 个子集合，分别对 2 个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合

void MergeSort(Type a[], int left, int right)

   {

      if (left<right) {// 至少有 2 个元素

      int i=(left+right)/2;  // 取中点

      mergeSort(a, left, i);

      mergeSort(a, i+1, right);

      merge(a, b, left, i, right);  // 合并到数组 b

      copy(a, b, left, right);    // 复制回数组 a

      }

   }

算法复杂度分析：
$T(n)=\begin{cases} O(1)\ n\leq1\\ 2T(n/2)+O(n)\ n>1 \end{cases}$.
$T(n)=O(nlogn)$ 渐进意义下的最优算法
最坏时间复杂度：O (nlogn)
平均时间复杂度：O (nlogn)
辅助空间：O (n)

# 快速排序

在快速排序中，记录的比较和交换是从两端向中间进行的，关键字较大的记录一次就能交换到后面单元，关键字较小的记录一次就能交换到前面单元，记录每次移动的距离较大，因而总的比和移动次数较少。

template<class Type>

void QuickSort (Type a[], int p, int r)

{

      if (p<r) {

        int q=Partition(a,p,r);

        QuickSort (a,p,q-1); // 对左半段排序

        QuickSort (a,q+1,r); // 对右半段排序

        }

}

template<class Type>

int Partition (Type a[], int p, int r)

{

        int i = p, j = r + 1; 

        Type x=a[p];

        // 将 & lt; x 的元素交换到左边区域

        // 将 > x 的元素交换到右边区域

        while (true) {

           while (a[++i] <x);

           while (a[- -j] >x);

           if (i >= j) break; 

           Swap(a[i], a[j]);

           }

       a[p] = a[j];

       a[j] = x;

       return j;

}

快速排序算法的性能取决于划分的对称性。通过修改算法 partition，可以设计出采用随机选择策略的快速排序算法。在快速排序算法的每一步中，当数组还没有被划分时，可以在 a [p:r] 中随机选出一个元素作为划分基准，这样可以使划分基准的选择是随机的，从而可以期望划分是较对称的。

template<class Type>

int RandomizedPartition (Type a[], int p, int r)

{

        int i = Random(p,r);

        Swap(a[i], a[p]);

        return Partition (a, p, r);

}

最坏时间复杂度：O (n2)
平均时间复杂度：O (nlogn)
辅助空间：O (n) 或 O (logn)

# 线性时间选择

给定线性序集中 n 个元素和一个整数 k，1≤k≤n，要求找出这 n 个元素中第 k 小的元素

template<class Type>

Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k)

{

      if (p==r) return a[p];

      int i=RandomizedPartition(a,p,r),

      j=i-p+1;

      if (k<=j) return RandomizedSelect(a,p,i,k);

      else return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);

}

在最坏情况下，算法 randomizedSelect 需要$O(n^2)$ 计算时间
但可以证明，算法 randomizedSelect 可以在$O(n)$ 平均时间内找出 n 个输入元素中的第 k 小元素。
如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的 2 个子数组的长度都至少为原数组长度的 ε 倍 (0<ε<1 是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用 O (n) 时间完成选择任务。

• 将 n 个输入元素划分成$\lceil n/5 \rceil$ 个组，每组 5 个元素，只可能有一个组不是 5 个元素。用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共$\lceil n/5 \rceil$ 个。
• 递归调用 select 来找出这$\lceil n/5 \rceil$ 个元素的中位数。如果$\lceil n/5 \rceil$ 是偶数，就找它的 2 个中位数中较大的一个。以这个元素作为划分基准

Type Select(Type a[], int p, int r, int k)

{

      if (r-p<75) {

        用某个简单排序算法对数组a[p:r]排序;

        return a[p+k-1];

        };

      for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i++ )

         将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素

         与a[p+i]交换位置;

      // 找中位数的中位数，r-p-4 即上面所说的 n-5

      Type x = Select(a, p, p+(r-p-4)/5, (r-p-4)/10);

      int i=Partition(a,p,r, x),

      j=i-p+1;

      if (k<=j) return Select(a,p,i,k);

      else return Select(a,i+1,r,k-j);

}

上述算法将每一组的大小定为 5，并选取 75 作为是否作递归调用的分界点。这 2 点保证了 T (n) 的递归式中 2 个自变量之和 n/5+3n/4=19n/20=εn，0<ε<1。这是使 T (n)=O (n) 的关键之处。当然，除了 5 和 75 之外，还有其他选择。

算法复杂度分析：
$T(n)\leq \begin{cases} C_1\ n<75\\ C_2n+T(n/5)+T(3n/4)\ n\geq 75 \end{cases}$.
$T(n)=O(n)$

# 线性时间选择的个人理解

• 首先将整个数组每五个为一组划分，找到每一组的中位数，并将中位数交换至数组头部.
• 由于每组的中位数都在数组头部，再次调用函数求头部的 n/5 个数字当中的中位数，设为 x;
• 只要能对这几个中位数进行操作求得中位数的中位数即可，交换与否，交换的位置影响不大.
• 使用 partition 函数，数组中小于 x 的放左边，大于 x 的放右边.
• 核心思路依然是取一个值，然后分隔数组，但花费了不少时间来找到这个合适的值.
• 由于分出了 n/5 个组，在每个组求中位数的过程中，花销为 T (5)*n/5=cn.
• 求每个组的中位数的中位数过程中，花销为 T (n/5).
• 求得的这个新的中位数，他要比 (n/5-1)/2 个其他中位数要小，每个组内还有两个数比组内中位数大，那么就有 3 (n/5-1)/2 个数比 x 大，也就是$3(n-5)/10\geq n/4$, 每次分割能去掉 n/4 个数，剩下了 T (3n/4) 的复杂度.
• 由于 3n/4+n/5 小于 n, 这个算法就能降低复杂度

# 最接近点对问题

二维空间内有若干个点，寻找其中最接近的两个点

• 选取一垂直线 l:x=m 来作为分割直线。其中 m 为 S 中各点 x 坐标的中位数。由此将 S 分割为 S1 和 S2。
• 递归地在 S1 和 S2 上找出其最小距离 d1 和 d2，并设 d=min {d1,d2}，S 中的最接近点对或者是 d，或者是某个 {p,q}，其中 p∈P1 且 q∈P2。
• 考虑 P1 中任意一点 p，它若与 P2 中的点 q 构成最接近点对的候选者，则必有 distance (p，q)＜d。满足这个条件的 P2 中的点一定落在一个 d×2d 的矩形 R 中
• 由 d 的意义可知 (d=min {d1,d2})，P2 中任何 2 个 S 中的点的距离都不小于 d。由此可以推出矩形 R 中最多只有 6 个 S 中的点。
• 因此，在分治法的合并步骤中最多只需要检查 6×n/2=3n 个候选者

证明：将矩形 R 的长为 2d 的边 3 等分，将它的长为 d 的边 2 等分，由此导出 6 个 (d/2)×(2d/3) 的矩形。若矩形 R 中有多于 6 个 S 中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个 (d/2)×(2d/3) 的小矩形中有 2 个以上 S 中的点。设 u，v 是位于同一小矩形中的 2 个点，则$(x(u)-x(v))^2+(y(u)-y(v))^2\leq (d/2)^2+(2d/3)^2=\frac{25}{36}d^2$,distance (u,v)< d。这与 d 的意义相矛盾。

• 为了确切地知道要检查哪 6 个点，可以将 p 和 P2 中所有 S2 的点投影到垂直线 l 上。由于能与 p 点一起构成最接近点对候选者的 S2 中点一定在矩形 R 中，所以它们在直线 l 上的投影点距 p 在 l 上投影点的距离小于 d。由上面的分析可知，这种投影点最多只有 6 个。
• 因此，若将 P1 和 P2 中所有 S 中点按其 y 坐标排好序，则对 P1 中所有点，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对 P1 中每一点最多只要检查 P2 中排好序的相继 6 个点。

double cpair2(S)

{

      n=|S|;

      if (n < 2) return ;

1、m=S中各点x间坐标的中位数;

      构造S1和S2；

      //S1={p∈S|x(p)<=m}, 

     S2={p∈S|x(p)>m}

2、d1=cpair2(S1);

      d2=cpair2(S2);

3、dm=min(d1,d2);

4、设P1是S1中距垂直分割线l的距离在dm之内的所有点组成的集合；

      P2是S2中距分割线l的距离在dm之内所有点组成的集合；

      将P1和P2中点依其y坐标值排序；

      并设X和Y是相应的已排好序的点列；

5、通过扫描X以及对于X中每个点检查Y中与其距离在dm之内的所有点(最多6个)可以完成合并；

      当X中的扫描指针逐次向上移动时，Y中的扫描指针可在宽为2dm的区间内移动；

      设dl是按这种扫描方式找到的点对间的最小距离；

6、d=min(dm,dl);

      return d;

}

算法复杂度分析：
$T(n)\leq \begin{cases} O(1)\ n<4\\ 2T(n/2)+O(n)\ n\geq 4 \end{cases}$.
$T(n)=O(nlogn)$

# 循环赛程表