# 环

# 环的基本概念

# 环的定义

$设〈R, \oplus , \otimes〉是代数系统， \oplus 和\otimes 是R上的两个二元运算，若$
1. $〈R, \oplus〉$ 是交换群
2. $〈R, \otimes〉$ 是半群
3. $\otimes 对 \oplus$ 满足分配率，即对 $\forall a,b,c \in R$ 都有
$a\otimes (b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)$
$(b\oplus c)\otimes a =(b\otimes a)\oplus (c\otimes a)$
则称 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是环

环中， $〈R, \oplus〉$ 是群，故关于 $\oplus$ 有幺元存在，将关于 $\oplus$ 的么元记为 0，称为环的零元。

环中， $〈R, \oplus〉$ 是群，故 R 中每个元素有逆元，设 $a \in R$ ，将 a 关于 $\oplus$ 的逆元记为 - a ，称为 a 的负元，且将 $a \oplus (-b)$ 简记为 a-b。

环中，对于 $\otimes$ 运算，若有幺元，则记为 1 或 e 。

环中，设 $a\in R$ ，若 a 关于 $\otimes$ 有逆元，则记为a^

以后谈到环，只讨论 $|R|\geqslant 2$ 的情况，即不讨论一个元素的环。

环的定义中，不要求 $\oplus$ 对 $\otimes$ 满足分配律，只要求 $\otimes$ 对 $\oplus$ 满足分配律。

# 交换环含幺环交换含幺环

设 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是环。

若 $\otimes$ 运算满足交换律，则称 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是交换环。
若关于 $\otimes$ 运算有幺元，则称 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是含幺环。
若 $\otimes$ 运算满足交换律又关于 $\otimes$ 运算有幺元，则称 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是交换含幺环。

# 环的基本性质

设 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是环，则 $\forall a,b,c \in R$ ，有：
1. $0\otimes a=a\otimes 0=0$
2. $a\otimes (-b)=(-a)\otimes b=-(a\otimes b)$
3. $(-a)\otimes (-b) =a\otimes b$
4. $(-1)\otimes a=-a$
5. $(-1)\otimes (-1)=1$
6. 左分配律： $a\otimes(b-c)=(a\otimes b)-(a\otimes c)$
右分配率： $(b-c)\otimes a=(b\otimes a)-(c\otimes a)$

# 无零因子环和含零因子环

设 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是环。
1. $(\exists a \in R )(\exists b \in R)(a\ne 0 \land b \ne 0 \land a\otimes b =0)$ , 则称设 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是含零因子环，称 a 是环中的左零因子，称 b 是环中的右零因子。
2. $(\forall a \in R )(\forall b \in R)(a\ne 0 \land b \ne 0 \land a\otimes b \ne 0)$ , 即环中无零因子 (no nil-factor) ，则称环 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 是无零因子环。

# 整环与除环

# 整环 (integral domain)

交换含幺的无零因子环称为整环。

整环又称为整区。

# 除环 (division ring)

每个非零元都有 (乘法) 逆元的含幺环称为除环。即，若含幺环 $〈R, \oplus , \otimes〉$ 满足：
$(\forall a \in R)(a \ne 0 \implies a^{-1} \in R)$
则称其为除环。

# 无零因子等同于消去律

在环 $〈R, \oplus , \otimes〉$ ，无零因子 $\iff$ 消去律，即 $\forall a,b,c \in R 且 a\ne 0$ ，都有
$a\otimes b =a\otimes c \implies b=c$
$b \otimes a=c\otimes b \implies b=c$

# 除环是含幺的无零因子环。

因此，除环未必是整环，整环也未必是除环；
除环要成为整环，差乘法交换律；整环要成为除环，差 (非零元) 有乘法逆元；

# 在有限含幺环中，无零因子等同于 (非零元) 有逆元。

#

当 R 有限时，有逆元，无零因子，消去律是相互等价的
当 R 无限时，有逆元能推出消去律和无零因子，同时无零因子和消去律是等价的。

# 域

# 域 (field)

$设〈F, \oplus , \otimes〉是代数系统， \oplus 和\otimes 是R上的两个二元运算，若$
1. $〈F, \oplus〉$ 是交换群
2. $〈F|\{0\}, \times〉$ 是交换群
3. $\otimes 对 \oplus$ 满足分配率，即对 $\forall a,b,c \in F$ 都有
$a\otimes (b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)$

则称 $〈F, \oplus , \otimes〉$ 是域

# 定理 1. 可交换的除环是域

除环是每个非零元都有 (乘法) 逆元的含幺环，它与域概念仅差 (乘
法) 交换律。现在正好补齐，所以，可交换的除环是域。

# 定理 2. 有限整环是域

整环是交换含幺的无零因子环，它与域概念仅差每个非零元都有 (乘法) 逆元。但在有限环的情况下，上节定理 4 已经证明：
无零因子 $\iff$ 每个非零元都有 (乘法) 逆元
因此，有限整环是域。

# 性质总结

环	$(I,+,\times)$	$(M_{n \times n},+,\times)$	$(N_m,+_m,\times_m)$	$(2^X,\oplus ,\cap )$	$(P[x],+,\times)$	$(Z_m[x],+_m,\times_m)$	$(Z_p[x:n],+_f,\times_f)$
运算	$\times$	$\times$	$\times_m$	$\cap$	$\times$	$\times_m$	$\times_f$
交换律	有	无	有	有	有	有	有
幺元	1	E	$[1]_m$	X	1	1	1
零因子	无	有	m 是素数：无 m 是合数：有	有	无	m 是素数：无 m 是合数：有	f 是素多项式：无 f 非素多项式：有
整环	是	不是	m 是素数：是 m 是合数：不是	不是	是	m 是素数：是 m 是合数：不是	f 是素多项式：是 f 非素多项式：不是
除环	不是	不是	m 是素数：是 m 是合数：不是	不是	不是	m 是素数：不是 m 是合数：不是	f 是素多项式：是 f 非素多项式：不是
域	不是	不是	m 是素数：是 m 是合数：不是	不是	不是	m 是素数：不是 m 是合数：不是	f 是素多项式：是 f 非素多项式：不是

# 环